Last updated Unknown

• Математика
• Ммпэд

• #π/определение:
  • Интегральное уравнение — уравнение, содержащее неизвестную функцию под знаком интеграла.
• #π/формула интегрального уравнения и его составные части:
  • $\displaystyle y(x)=\lambda \int_{a}^b K(x,t)y(t) , dt + f(x), , (a\leq x \leq b)$, где:
    • $K(x,t)$ — ядро интегрального уравнения;
    • $f(x)$ — некая заданная функция;
    • $y(x)$ — искомое решение.
    • $\lambda$ — некий параметр;
• Смежные понятия:
  • Резольвента интегрального уравнения

• Линейное интегральное уравнение
  • 1-го рода:
    • неоднородное;
  • 2-го рода:
    • однородное;
    • неоднородное.
• Нелинейное интегральное уравнение

• Метод последовательных приближений
• Метод определителей Фредгольма
• Метод решения уравнений Фредгольма с вырожденными ядрами
• Нахождение характеристических чисел и собственных функций
• Задачи на проверку решения

• Решить уравнение разными способами:
  • $\displaystyle \varphi(x)=1+\lambda \int_{-1}^{1} (xt+x^{2}t^{2})\varphi(t) , dt.$

• Решение:
  • Перепишем уравнение:
    • $\displaystyle \varphi(x)-\lambda \int_{-1}^{1} (xt+x^{2}t^{2})\varphi(t) , dt = 1;$
  • Проверим условие:
    • $\displaystyle |\lambda| < \dfrac{1}{B_{k}} = \left(\iint_{-1}^{1} |K(x,t)^{2}| , dx, dt\right)^{-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{4}{9};$
  • $y_{0}(x)=1;$
  • $\displaystyle y_{1}(x)=1-\lambda \int_{-1}^{1} (xt+x^{2}t^{2}) , dt =1 - \dfrac{2\lambda x^{2}}{3};$
  • $\displaystyle y_{2}(x)=1-\lambda \int_{-1}^{1} (xt+x^{2}t^{2})\cdot\left(1 - \dfrac{2\lambda x^{2}}{3} \right) , dt=1 + \dfrac{2\lambda x^{2}(2\lambda x^{2}-3)}{9};$
  • $\displaystyle y_{3}(x)=1-\lambda \int_{-1}^{1} (xt+x^{2}t^{2})\cdot\left(1 + \dfrac{2\lambda x^{2}(2\lambda x^{2}-3)}{9} \right) , dt=1 - \dfrac{2\lambda x^{2}(2\lambda x^{2}(2\lambda x^{2}-3)+9)}{27};$
  • ???

• Решение:
  • $B_{0}=xt+x^{2}t^{2};$
  • $\displaystyle C_{1}=\int_{-1}^{1} zz+z^{2}z^{2} , dz= \int_{-1}^{1} z^{6} , dz=\dfrac{2}{7};$
  • $\displaystyle B_{1}=\int_{-1}^{1} \begin{vmatrix}(xt+x^{2}t^{2}) & (xt_{1}+x^{2}t_{1}^{2}) \ (t_{1}t+t_{1}^{2}t^{2}) & t_{1}^{6} \end{vmatrix} , dt_{1}=\int_{-1}^{1} t_{1}^{6}(xt+x^{2}t^{2})-(xt_{1}+x^{2}t_{1}^{2})(t_{1}t+t_{1}^{2}t^{2}) , dt_{1}=-\dfrac{4tx(3tx+10)}{105}.$
  • $\displaystyle C_{2}=\int_{-1}^{1} -\left( \dfrac{4z^{2}(3z^{2}+10)}{105} \right) , dz=-\dfrac{472}{1575}.$
  • $\displaystyle B_{2}=-\dfrac{472}{1575}(xt+x^{2}t^{2}) -2\int_{-1}^{1} (xz+x^{2}z^{2})\left( -\dfrac{4zt(3zt+10)}{105} \right) , dz= \dfrac{16tx(9tx+50)}{1575}-\dfrac{472}{1575}(xt+x^{2}t^{2})=\dfrac{144t^{2}x^{2}+80tx-472xt+472x^{2}t^{2}}{1575}=-\dfrac{+328x^{2}t^{2}+392xt}{1575}.$
  • $\displaystyle C_{3}=\int_{-1}^{1} -\dfrac{328z^{4}+392z^{2}}{1575} , dz=-\dfrac{5888}{23625}.$
  • $B_{3}=-\dfrac{5888}{23625}(xt+x^{2}t^{2})-3\int_{-1}^{1} (xz+x^{2}z^{2})\left( -\dfrac{328z^{2}t^{2}+392zt}{1575} \right) , dz$
  • …