Last updated Unknown

• Математика
• Ммпэд
• Иу

• Запись решения в данном методе выглядит следующим образом:
  • $\displaystyle \varphi(x)=f(x)+\lambda \int_{a}^{b} R(x,t;\lambda) f(t) , dt.$
• Резольвента интегрального уравнения Фредгольма находится следующим образом:
  • $R(x,t;\lambda)=\dfrac{D(x,t,\lambda)}{D(\lambda)}$, где:
    • $\displaystyle D(x,t,\lambda)=K(x,t)+\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{n!}B_{n}(x,t)\lambda^n$ — минор Фредгольма, где:
      • $\displaystyle B_{n}(x,t)=\int_{a}^{b} \dots \int_{a}^{b} \begin{vmatrix} K(x,t) & K(x,t_{1}) & \dots & K(x,t_{n}) \ K(t_{1},t) & K(t_{1},t_{1}) & \dots & K(t_{1},t_{n}) \ \dots & \dots & \dots & \dots \ K(t_{n},t) & K(t_{n},t_{1}) & \dots & K(t_{n},t_{n}) \end{vmatrix} , dt_{1} \dots dt_{n};$
      • $B_{0}(x,t)=K(x,t);$
    • $\displaystyle D(\lambda)=1+\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{n!}C_{n}\lambda^n$ — определитель Фредгольма, где:
      • $\displaystyle С_{n}(x,t) = \int_{a}^{b} \dots \int_{a}^{b} \begin{vmatrix} K(t_{1},t_{1}) & K(t_{1},t_{2}) & \dots & K(t_{1},t_{n}) \ K(t_{2},t_{1}) & K(t_{2},t_{2}) & \dots & K(t_{2},t_{n}) \ \dots & \dots & \dots & \dots \ K(t_{n},t_{1}) & K(t_{n},t_{2}) & \dots & K(t_{n},t_{n}) \end{vmatrix} , d t_{1} \dots d t_{n}.$
• Формулы для нахождения коэффициентов слишком громоздки, поэтому на практике используют рекуррентные соотношения:
  • $\displaystyle B_{n}(x,t)=C_{n}K(x,t)-n \int_{a}^{b} K(x,z)B_{n-1}(z,t) , dz;$
  • $\displaystyle C_{n}=\int_{a}^{b} B_{n-1}(z,z) , dz.$

• Дано:
  • $\displaystyle \varphi(x)-\lambda \int_{0}^{2\pi} \sin(x+t)\varphi(t) , dt = 1.$
• Решение:
  • $B_{0}(x,t)=K(x,t)=\sin(x+t).$
  • $\displaystyle B_{1}(x,t)=\int_{0}^{2\pi} \begin{vmatrix} K(x,t) & K(x,t_{1}) \ K(t_{1},t) & K(t_{1},t_{1}) \end{vmatrix} , dt_{1}=\int_{0}^{2\pi} \begin{vmatrix} \sin(x+t) & \sin(x+t_{1}) \ \sin(t_{1}+t) & \sin(t_{1}+t_{1}) \end{vmatrix} , dt_{1}=\int_{0}^{2\pi} \sin(x+t)\sin(t_{1}+t_{1})-\sin(x+t_{1})\sin(t_{1}+t) , dt_{1}=-\pi \cos(x-t_{1});$
  • $\displaystyle C_{1}=\int_{0}^{2\pi} B_{0}(z,z) , dz=\int_{0}^{2\pi} \sin(2z) , dz=0;$
  • $\displaystyle C_{2}=\int_{0}^{2\pi} B_{1}(z,z) , dz=\int_{0}^{2\pi} -\pi \cos(z-z) , dz=-2\pi^{2}.$
  • Найдём $B_{2}$ по рекуррентной формуле:
    • $\displaystyle B_{2}(x,t)=-2\pi^{2}\sin(x+t)-2\int_{0}^{2\pi} \sin(x+z)\cdot(-\pi \cos(z-t)) , dz=0;$
  • $\displaystyle C_{3}=\int_{0}^{2\pi} 0 , dz=0.$
  • Найдём резольвенту:
    • $\displaystyle D(x,t,\lambda)=\sin(x+t) - \dfrac{(-1)^{1}}{1!} (-\pi \cos(x-t_{1}))\lambda=\sin(x+t)+\pi \cos(x-t)\lambda;$
    • $\displaystyle D(\lambda)=1+\sum_{n=1}^{2} \dfrac{(-1)^{2}}{2!}(-2\pi^{2})\lambda^{2}=1-\pi^{2}\lambda^{2};$
    • $R(x,t;\lambda)=\dfrac{D(x,t,\lambda)}{D(\lambda)}=\dfrac{\sin(x+t)+\pi \cos(x-t)\lambda}{1-\pi^{2}\lambda^{2}}.$
• Ответ:
  • $\displaystyle \varphi(x)=1+\lambda \int_{0}^{2\pi} R(x,t;\lambda) f(t) , dt=1+\lambda \int_{0}^{2\pi} \dfrac{\sin(x+t)+\pi \cos(x-t)\lambda}{1-\pi^{2}\lambda^{2}} \cdot 1 , dt=1.$

• Дано:
  • $\displaystyle \varphi(x)+\int_{0}^{1} e^{x-t}\varphi(t) , dt=e^{x}.$
• Решение:
  • $B_{0}=e^{x-t};$
  • $\displaystyle C_{1}=\int_{0}^{1} e^{0} , dz=1;$
  • $\displaystyle B_{1}=\int_{0}^{1} \begin{vmatrix}e^{x-t} & e^{x-t_{1}} \ e^{t_{1}-t} & e^{t_{1}-t_{1}}\end{vmatrix} , dt_{1}=\int_{0}^{1} e^{t_{1}}e^{-t_{1}}e^{x}e^{-t}-e^{x}e^{-t_{1}}e^{t_{1}}e^{-t} , dt_{1}=0;$
  • $C_{2}=0;$
  • $D(x,t,\lambda)=e^{x-t};$
  • $\displaystyle D(\lambda)=1-\lambda;$
  • $R(x,t,\lambda)=\dfrac{e^{x-t}}{1-\lambda}.$
• Ответ:
  • $\displaystyle \varphi(x)=e^{x}-\int_{0}^{1} R(x,t;\lambda)\varphi(t) , dt=e^{x}-\int_{0}^{1} \dfrac{e^{x-t}}{1-\lambda} e^{t} , dt=\dfrac{e^{x}}{2}.$