Last updated Unknown

• Математика
• Ммпэд
• Иу

• Проверяем условие:
  • $\displaystyle |\lambda| < \dfrac{1}{B_{k}}=\left( \iint |K(x,t)^{2} , dx , dt \right)^{- \dfrac{1}{2}}.$
• $y_{0}(x)=f(x).$
• $\displaystyle y_{1}(x)=y_{0}+\lambda \int_{a}^{b} y_{0}(x) K(x,t) , dt;$
• $\displaystyle y_{2}(x)=y_{0}+\lambda \int_{a}^{b} y_{1}(x) K(x,t) , dt$ и т. д.;
• $\displaystyle y_{n}(x)= \sum_{k=0}^n \dots;$
• Применяется разложение некоторых функций в степенные ряды, чтобы получить предел функции.

• Дано:
  • $\displaystyle y(x)=-\dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} (\cos(x+t)+\cos(x-t))y(t) , dt+\cos x;$
• Решение:
  • $\lambda=-\dfrac{1}{2\pi}$, $K(x,t)=(\cos(x+t)+\cos(x-t));$
  • $y_{0}(x)=\cos x.$
  • Применим формулу:
    • $\cos(x+t)+\cos(x-t)=2\cos{\dfrac{x+t+x-t}{2}}\cos{\dfrac{x+t-x+t}{2}}=2\cos x \cos t;$
  • $\displaystyle y_{1}(x)=\cos x + \dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi} 2\cos x \cos t \cos t , dt = \cos x -\dfrac{1}{2}\cos x;$
  • $y_{2}(x)=\cos x - \dfrac{1}{2}\cos x + \dfrac{1}{4}\cos x;$
  • $y_{n}(x)=\cos x\left( 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}+\dots \right);$
  • $\displaystyle \lim_{n \to \infty} y_{n}(x)=\dfrac{2}{3}\cos x.$
• Ответ:
  • $\displaystyle \lim_{n \to \infty} y_{n}(x)=\dfrac{2}{3}\cos x$