Last updated Unknown

• Математика
• Ммпэд
• Иу

• Дано:
  • $\displaystyle \varphi(x)-\lambda \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sin x \cos t \varphi(t) , dt = \sin x$.
• Решение:
  • Перепишем уравнение:
    • $\displaystyle \varphi(x) = \sin x + \lambda \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sin x \cos t \varphi(t) , dt$ (1).
  • Выразим коэффициент $c_{1}$:
    • $\displaystyle c_{1}=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \cos t \varphi(t) , dt$ (2).
  • Подставим (2) в (1):
    • $\varphi(x)=\sin x + \lambda \sin x \cdot c_{1}$ (3).
  • Подставим (3) в (2):
    • $\displaystyle c_{1}=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \cos t (\sin t + \lambda \sin t \cdot c_{1}) , dt = \dfrac{(\lambda \cdot c_{1} + 1)}{2};$
    • $2c_{1}=\lambda \cdot c_{1} + 1;$
    • $c_{1}=\dfrac{1}{2-\lambda}.$
  • Подставим значение $c_{1}$ в (3):
    • $\varphi(x)=\sin x + \lambda \sin x \cdot \dfrac{1}{2-\lambda}=\sin x\left( 1+\dfrac{\lambda}{2-\lambda} \right)=\dfrac{2}{2-\lambda}\sin x.$

• Дано:
  • $\displaystyle \varphi(x)-\lambda \int_{0}^{2\pi} (\sin x \cos t - \sin(2x) \cos(2t)+\sin(3x)\cos(3t))\varphi(t) , dt=\cos x.$
• Решение:
  • Перепишем уравнение:
    • $\displaystyle \varphi(x)=\lambda \sin x \int_{0}^{2\pi} \cos t \varphi(t) , dt - \lambda \sin (2x) \int_{0}^{2\pi} \cos(2t)\varphi(t) , dt + \lambda \sin(3x) \int_{0}^{2\pi} \cos(3t)\varphi(t) , dt + \cos x.$
  • Введём обозначения:
    • $\displaystyle c_{1}=\int_{0}^{2\pi} \cos t \varphi(t) , dt;$
    • $\displaystyle c_{2}=\int_{0}^{2\pi} \cos(2t) \varphi(t) , dt;$
    • $\displaystyle c_{3}=\int_{0}^{2\pi} \cos(3t) \varphi(t) , dt.$
  • Тогда:
    • $\varphi(t)=\lambda c_{1} \sin x - \lambda c_{2} \sin(2x) + \lambda c_{3} \sin(3x) + \cos x.$
  • Найдём коэффициенты (т. к. вычисления громоздкие, оставим здесь только их результат):
    • $c_{1}=\pi;$
    • $c_{2}=0;$
    • $c_{3}=0.$
  • $\varphi(x)=\lambda \pi \sin x + \cos x.$

• Дано:
  • $\displaystyle \varphi(x)-4 \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sin^{2}x\varphi(t) , dt=0.$
• Решение:
  • $\displaystyle \varphi(x)=4\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sin^{2}x\varphi(t) , dt;$
  • $\displaystyle c_{1}=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \varphi(t) , dt;$
  • $\varphi(x)=4c_{1}\sin^{2}x;$
  • $\displaystyle c_{1}=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} 4c_{1}\sin^{2}t , dt=\pi c_{1};$
  • $c_{1}=0;$
  • $\varphi(x)=0.$

• Дано:
  • $\displaystyle \varphi(x)-\lambda \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sin x \cos t \varphi(t) , dt=0.$
• Решение:
  • $\displaystyle \varphi(x)=\lambda \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sin x \cos t \varphi(t) , dt;$
  • $\displaystyle c_{1}=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \cos t \varphi(t) , dt;$
  • $\varphi(x)=\lambda c_{1} \sin x;$
  • $\displaystyle c_{1}=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \lambda c_{1} \cos t \sin t , dt = \dfrac{c_{1}\lambda}{2};$
  • $c_{1}=0;$
  • $\varphi(x)=0.$