Last updated Unknown

• Математика
• Ммпэд
• Иу

• Дано:
  • $\displaystyle \varphi(x)-\lambda \int_{0}^{\pi} \cos(x+t)\varphi(t) , dt=0.$
• Решение:
  • Применим формулу:
    • $\cos(x+t)=\cos x \cos t - \sin x \sin t.$
  • Перепишем уравнение в виде:
    • $\displaystyle \varphi(x)=\lambda \cos x \int_{0}^{\pi} \cos t \varphi(t) , dt - \lambda \sin x \int_{0}^{\pi} \sin t \varphi(t) , dt.$
  • Произведём замену:
    • $\displaystyle c_{1}=\int_{0}^{\pi} \cos t \varphi(t) , dt;$
    • $\displaystyle c_{2}=\int_{0}^{\pi} \sin t \varphi(t) , dt.$
  • Выразим $\varphi(x)$:
    • $\varphi(x)=\lambda c_{1} \cos x - \lambda c_{2} \sin x \quad (1).$
  • Подставим $\varphi(x)$ в $c_{1}$ и $c_{2}$:
    • $\displaystyle c_{1}=\lambda c_{1} \int_{0}^{\pi} \cos^{2}t , dt - \lambda c_{2} \int_{0}^{\pi} \cos t \sin t , dt=\lambda c_{1} \dfrac{\pi}{2};$
    • $\displaystyle c_{2}=\lambda c_{1} \int_{0}^{\pi} \sin t \cos t , dt - \lambda c_{2} \int_{0}^{\pi} \sin^{2}t , dt = -\lambda c_{2} \dfrac{\pi}{2}.$
  • Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель за скобку, получили систему:
    • $c_{1}\left( 1-\dfrac{\lambda \pi}{2} \right)=0;$
    • $c_{2}\left( 1+\dfrac{\lambda \pi}{2} \right)=0.$
  • Тогда, характеристические числа равны:
    • $\lambda_{1}=\dfrac{2}{\pi};$
    • $\lambda_{2}=-\dfrac{2}{\pi}.$
  • Найдём собственные функции (подставим характеристические числа в (1)):
    • $\varphi_{1}(x)=\lambda_{1}c_{1}\cos x=\dfrac{2}{\pi}c_{1}\cos x;$
    • $\varphi_{2}(x)=\lambda_{2}c_{2}\sin x=-\dfrac{2}{\pi}c_{2}\sin x.$