# Проекционные методы
# Проблематика
- Аналитические решения краевых задач электродинамики удается получить лишь для нескольких простых случаев.
- Например, для круглых, прямоугольных, эллиптических волноводов, регулярных по длине и имеющих координатное заполнение, а также для резонаторных объемов на основе таких волноводов.
- Средств, позволяющих получать аналитические (замкнутые) выражения для полей в произвольных электродинамических системах, не существует.
# Решение
- На практике в большинстве случаев знание самих полей представляет вторичный интерес. В первую очередь необходимо получить интегральные характеристики системы, к которым относятся собственные частоты и постоянные распространения, элементы матриц проводимости и рассеяния. Эти величины могут рассматриваться как специальные значения некоторых сопоставляемых задачам функционалов, которые будем называть характеристическими.
- Средством нахождения приближенных представлений электромагнитного поля и отмеченных интегральных характеристик систем являются прямые проекционные методы.
- Эти методы дают возможность определять приближенные значения различных параметров краевых задач и представления их решений. Тот или иной метод можно считать принципиально обоснованным, если установлено, что его результаты при определенных условиях будут сколь угодно близки к точным.
- Электромагнитные же поля в системе обычно представляются в виде линейных комбинаций векторных собственных функций решаемой краевой задачи.
- #π/формула: $\vec{E}^{N}=\sum_{n=1}^{N}a_{n}\vec{E}{n}; \vec{H}^{N}=\sum{n=1}^{N}b_{n}\vec{H}_{n}$ (1).
- #π/сущность проекционного метода определяется тем, каким образом задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно амплитудных коэффициентов.
- Название «проекционные методы» возникло вследствие того, что при образовании СЛАУ проводится поиск проекций амплитудных коэффициентов на базисные функции.
- С ростом числа базисных функций ($N \to \infty$) решение краевой задачи в виде (1) при корректном выборе базиса стремится к истинному.