Last updated Unknown

• Математика

• #π/определение:
  • Производная функции в точке — предел отношения приращения функции $\Delta y$ к вызвавшему его приращению аргумента $\Delta x$ в этой точке при $\Delta x → 0$¹.
• #π/формула:
  • $\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
• #π/иллюстрация:
  • 
    • Отрезок $NM$ — это дифференциал $dy$ приращения функции $\Delta y$.

• #π/суть:
  • Производная функции показывает скорость её изменения в определённой точке.
• #π/иллюстрация физического смысла производной:
  • 

• Спидометр в автомобиле показывает производную нашего перемещения².

• #π/иллюстрация геометрического смысла производной:
  • 
    • На графике функции выбирается абсцисса $x_0$ и вычисляется соответствующая ордината $f(x_{0})$.
    • В окрестности точки $x_0$ выбирается произвольная точка $x$.
    • Через соответствующие точки на графике функции $F$ проводится секущая (первая светло-серая линия $C_{5}$).
    • Расстояние $\Delta x = x - x_{0}$ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии $C_{5} — C_{1}$).
    • Тангенс угла $\alpha$ наклона этой касательной — и есть производная в точке $x_0$.

• Хорошая аналогия для понимания производной — рассмотреть некоторую функцию и представить, что это дорога, на которую смотрят сбоку¹.
  • Дорога эта холмистая, но прямая, без возможности свернуть влево/вправо.
  • Мы идём слева направо, каждый раз проходя одинаковое расстояние относительно оси $x$, которое обозначается как $\Delta x$ и является приращением аргумента.
    • Оно в свою очередь вызывает приращение функции $\Delta y$.
      • Отношение $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ показывает среднюю скорость изменения функции.
  • #π/иллюстрация:
    •